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Superlinear dynamics of a scalar parabolic equation

Superlineare Dynamik einer skalaren parabolischen Differentialgleichung

Schulz, Sven


pdf-Format: Dokument 1.pdf (1.113 KB)

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Freie Schlagwörter (Deutsch): parabolische Differentialgleichung , superlinear , blow-up , Flussäquivalenz , Attraktor
Freie Schlagwörter (Englisch): parabolic equation , superlinear , blow-up , flow equivalence , global attractor
MSC - Klassifikation: 37L99 , 35K57
Universität Justus-Liebig-Universität Gießen
Institut: Mathematisches Institut
Fachgebiet: Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 27.04.2007
Erstellungsjahr: 2007
Publikationsdatum: 20.11.2007
Kurzfassung auf Englisch: This thesis is concerned with the semilinear parabolic cauchy problem


$$u_t-u_{xx}=f(u),qquad u(cdot,0)=u_0,quad u(0)=u(1)=0.$$


This problem is the simplest model of an heat or reaction-diffusion
equation. From a mathematical point of view this problem induces a
semiflow $phi$ on the state space $H^1_0([0,1])$. We are interested
in the dynamical properties of $phi$.


In the case of superlinear growth of $f$ there are infinitely
many equilibrium solutions, and for that case there seem to be no
general results on connecting orbits of flow equivalence. The
numerous results on this and similar superlinear problems, e.g. by
Marek Fila, Hiroshi Matano, Peter Polacik, Pavol Quittner and others,
are mainly concerned with blow-up solutions. Not much is known about
global, bounded solutions. In this work we are able to describe
exactly which equilibria are connected by heteroclinic orbits, and
which are not. We are able to prove structural stability of certain
finite dimensional invariant sets $A_{n,infty}$ for a subclass of
superlinear functions (containing the model case $f(u)=u|u|^p-lambda
u$). These sets also contain blow-up trajectories.


We obtain our results the following way: A superlinear function
$f$ is modified outside a compact interval in such a way, that we
obtain a dissipative semiflow. As the state space $H^1_0([0,1])$ is
compactly embedded into $cont^0([0,1])$, the modified flow coincides
with the original flow $phi$ on a neighborhood of 0. Increasing the
interval on which $f$ remains unchanged, this neighborhood of 0
increases accordingly. In this way we can transfer results from the
dissipative case to $phi$.


Capter 3 is the technical core of this thesis. We make sure that
the technical problems in modifying $phi$ are solved. The modified
function will be made constant outside a constant interval. Thus all
growth conditions for the existence of a global attractor are
fulfilled. The equilibrium solutions are second-order boundary value
problems, so we can work with phase plane analysis and shooting curve
techniques.
Kurzfassung auf Deutsch: Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem
semilinearen parabolischen Anfangs-Randwertproblem


$$u_t-u_{xx}=f(u),qquad u(cdot,0)=u_0,quad u(0)=u(1)=0.$$


Dieses Problem ist das einfachste Modell einer Wärmeleitungs- oder
Reaktions-Diffusionsgleichung. Aus mathematischer Sicht induziert
diese Gleichung einen Halbfluß $phi$ auf dem Zustandsraum
$H^1_0([0,1])$, an dessen dynamischen Eigenschaften wir interessiert
sind.



Im Fall superlinear wachsender rechter Seite gibt es unendlich viele
Gleichgewichtslösungen, und für diesen Fall scheint es keine
allgemeinen Resultate über verbindende Orbits oder Flussäquivalenz
zu geben. Die zahlreichen Arbeiten über dieses und ähnliche
superlineare Probleme, z.B. von Marek Fila, Hiroshi Matano, Peter
Polacik, Pavol Quittner und anderen, befassen sich
überwiegend mit Blow-Up Lösungen. Über global beschränkte Lösungen
scheint wenig bekannt zu sein. In der vorliegenden Arbeit gelingt es
uns, für eine sehr große Klasse von superlinearen Nichtlinearitäten
genau anzugeben, welche Gleichgewichtslösungen durch heterokline
Orbits verbunden werden, und welche nicht. Für eine Teilklasse
superlinearer Probleme (diese enthält den Modellfall $f(u)=u|u|^p$
oder auch $f(u)=u|u|^p-lambda u$) können wir beweisen, daß bestimmte
endlichdimensionale invariante Mengen $A_{n,infty}$ strukturell
stabil sind. Die Mengen
$A_{n,infty}$ enthalten auch Blow-Up Lösungen (d.h. unbeschränkte
Lösungen mit endlicher Existenzzeit), d.h. diese partielle
strukturelle Stabilität erstreckt sich auch auf das Blow-Up Verhalten.


Wir erhalten unsere Resultate auf folgende Weise: Eine
superlineare Funktion $f$ wird ausserhalb eines kompakten Intervalls
so abgeändert, daß ein dissipativer Halbfluss entsteht. Da der
Zustandsraum $H^1_0([0,1])$ kompakt nach $cont^0([0,1])$ einbettet,
stimmt dieser abgeänderte Halbfluss auf einer Nullumgebung mit dem
ursprünglichen Fluß $phi$ überein. Wird nun das Intervall vergrößert,
auf dem $f$ unverändert bleibt, so wächst auch diese Nullumgebung
entsprechend, und es lassen sich die Ergebnisse über den dissipativen
Fall anwenden und auf $phi$ übertragen.


Sicherzustellen, dass dabei alle Voraussetzungen erfuellt sind,
ist der technische Kern dieser Arbeit (Kapitel 3). Konkret werden die
Nichtlinearitäten, nach einem kurzen geglätteten Übergang, konstant
fortgesetzt --- damit erfüllen sie die Wachstumsbedingung für die
Existenz eines globalen Attraktors. Dabei geht entscheidend ein, daß
die Gleichgewichtslösungen Lösungen gewöhnlicher
Differentialgleichungen zweiter Ordnung sind. Als zweidimensionales
System können zur Analyse die Struktur des Phasenraumes und
Shooting-Curve Techniken verwendet werden.